Facit till uppgifterna

Här kommer facit till uppgifterna som finns i förra inlägget. Jag ska försöka att ha så tydliga uträkningar som möjligt men om något är oklart är det bara att fråga. Antingen i kommentarsfältet eller direkt under lektionen.

1. Ett heltal är tal utan decimaler. Heltal kan vara negativa, positiva och noll.

Exempel på heltal är:

$$-100, \; -6899, \; 700, \; 57, \; 0, \; 31, \; 3, \; 1, \; 5, \; 8, \; 999, \; -7089$$

2. Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som en kvot mellan två olika tal. Det är alltså de hela talen och även bråktal. Rationella tal kan vara negativa, positiva och noll.

Exempel på rationella tal är:

$$\frac{1}{3}, \; 5, \; \frac{-7}{99}, \; \frac{8}{4}, \; 0, \; -12, \; \frac{53}{2}, \; \frac{89}{89}, \; 1, \; \frac{-60}{800}, \; \frac{1000}{4}, \; 15.75, \; -4.312, \; 3.768598, \; -100.32$$

3. Ett naturligt tal är ett heltal som är noll eller positivt. Det är alltså också ett tal utan decimaler.

Exempel på naturliga tal är:

$$0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 700, \; 687, \; 3456, \; 1231, \; 999, \; 8000, \; 58499$$

4. Ett reellt tal är alla tal som finns. Reella tal är alltså samtliga tal på tallinjen och det finns oändligt många reella tal (hur många som helst). Reella tal innehåller alltså heltalen, de naturliga talen, de rationella talen och även de irrationella talen (tal som inte kan uttryckas exakt med bråk eller decimaltal, t.ex. $\pi$).

Exempel på reella tal är:

$$-1000.32, \; 0, \frac{1}{3}, \; \frac{-7}{99}, \; 31, \; 999, \; 8000, \; -7089, \; -4.312, \; \frac{89}{89}, \; \frac{8}{4}, \; -6899, \; -700.564$$

5. Delbarhetsreglerna som vi har gått igenom är:

Tal som är jämnt delbara med:	Regel	Exempel
$2$	Alla jämna tal, dvs. tal som slutar på $0$, $2$, $4$, $6$, $8$	$$12, \; 2, \; -600, \; 78, -54, \; 666$$
$3$	Alla tal där siffersumman är delbar med $3$ (siffersumman är summan av alla siffror som ingår i talet, t.ex. $432$ har siffersumman $4+3+2 = 9$ och det är delbart med $3$)	$$432, \; 12, \; 7992, -66, \; -135$$
$5$	Alla tal som slutar på $0$ eller $5$	$$10, \; -500, \; 55, \; 75, 845, \; 120$$
$6$	Alla tal som är delbara med $2$ OCH delbara med $3$ (se regler ovan)	$$432, \; 12, \; -66, \; 7992, \; 72$$
$10$	Alla tal som slutar på $0$	$$10, \; -990, \; 2870, \; 30, \; 50560$$

6. Talen som vi ska undersöka är: $$345, \; 1024, \; 290, \; 391$$

Vi ska undersöka om de är delbara med $5$, $10$, $2$ och $3$.

Vi börjar att undersöka vilka av talen som är delbara med $5$. Enligt delbarhetsreglerna är det alla tal som slutar på $0$ eller $5$. Av talen ovan är det $345$ och $290$ som uppfyller kraven.

Alltså är $345$ och $290$ delbara med $5$.

Nu undersöker vi vilka av talen som är delbara med $10$. Enligt delbarhetsreglerna är det alla tal som slutar på $0$. Av talen ovan är det $290$ som uppfyller kraven.

Alltså är $290$ delbar med $10$.

Sedan undersöker vi vilka av talen som är delbara med $2$. Enligt delbarhetsreglerna är det alla jämna tal. Av talen ovan är det $1024$ och $290$ som uppfyller kraven.

Alltså är $1024$ och $290$ delbara med $2$.

Till sist undersöker vi vilka av talen som är delbara med $3$. Enligt delbarhetsreglerna är det alla tal där siffersumman är delbar med $3$.

Siffersumman för $345$ är: $3+4+5 = 12$ och det är delbart med $3$.
Siffersumman för $1024$ är: $1+0+2+4 = 7$ och det är inte delbart med $3$.
Siffersumman för $290$ är: $2+9+0 = 11$ och det är inte delbart med $3$.
Siffersumman för $391$ är: $3+9+1 = 13$ och det är inte delbart med $3$.

Alltså är $345$ delbar med $3$.

7. Ett primtal är ett tal som är större än $1$ och endast är delbart med sig själv eller $1$. Exempel på primtal är $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$

8. För att dela upp $54$ i primtalsfaktorer kommer vi att använda oss av ett faktorträd.

9. Vi ska nu beräkna ett antal tal.

a) $$4 - (-9) = 4 + 9 = 13$$

Minus gånger minus blir till plus, så därför får vi ett plustecken mellan talen istället för $2$ minustecken.

b) $$(-5) \cdot (-2) = 5 \cdot 2 = 10$$

Multiplicera talen som om det var $5 \cdot 2$ först. Kontrollera därefter tecken. Minus gånger minus blir plus, så i det här fallet blir det plus.

c) $$\frac{-30}{5} = - 6$$

Dividera talet som om det var $\frac{30}{5}$. Kontrollera därefter tecken. Här blir det minus.

d) $$6 + (-5) = 6 - 5 = 1$$

Plus gånger minus blir till minus, så därför får vi ett minustecken mellan talen istället för ett plus och ett minus.

10. Vi ska nu beräkna lite andra tal.

a) $$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$$

Vi har alltså $3$ upphöjt till $4$. Det är detsamma som $4$ stycken $3$:or multiplicerade med varandra. Det är detsamma som $9 \cdot 9$, vilket är lika med $81$.

b) $$"fyra \; i  \; kvadrat"$$

Detta betyder $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$. Det är alltså $4$ upphöjt till $2$. Det är detsamma som $4$ multiplicerat med $4$ och det är lika med $16$.

c) $$\sqrt{36} = 6$$

Vi har alltså roten ur $36$. Det är ett sådant tal som multiplicerat med sig själv blir $36$. $6 \cdot 6 = 36$. Alltså är svaret $6$.

d) $$\sqrt{99^2 } = 99$$

Vi har roten ur $99$ upphöjt till $2$. Om vi tar roten ur ett tal i kvadrat så får vi talet självt. Alltså får vi $99$.

e) $$\frac{\sqrt{16b^3 }}{\sqrt{8b}} = \sqrt{\frac{16 \cdot b^3}{8 \cdot b}} = \sqrt{2 \cdot b^2} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{2} = b \cdot \sqrt{2}$$

Vi har ett rotuttryck dividerat med ett annat rotuttryck. Då kan vi skriva allt under ett och samma rotuttryck.

Därefter beräknar vi det som finns under rotuttrycket först. Där har vi $\frac{16 \cdot b^3}{8 \cdot b} = 2 \cdot b^2$. Vi dividerar $16$ med $8$ och får $2$ och vi dividerar $b^3$ med $b$ och får $b^2$, dvs. hur många gånger går $8$ i $16$ och hur många gånger går $b$ i $b \cdot b \cdot b$?

Då har vi $\sqrt{2 \cdot b^2}$ kvar att beräkna. Då kan vi skriva det som två rotuttryck igen, det ena blir $\sqrt{b^2}$ och det andra blir $\sqrt{2}$.

I uppgiften ovan har vi sett att roten ur ett tal i kvadrat blir talet självt. Alltså får vi $b$ som svar från det ena rotuttrycket. Det andra är $\sqrt{2}$ och det går inte att räkna exakt. Därför blir svaret $b*\sqrt{2}$.

f) $$\frac{4000}{3000} = \frac{4}{3}$$

Vi kan här förkorta $3$ nollor i täljaren och $3$ nollor i nämnaren. Kvar får vi $\frac{3}{4}$.

11.

För att beräkna hypotenusan använder vi oss av Pythagoras sats. Pythagoras sats fungerar bara när vi har en rätvinklig triangel och det har vi här.

Pythagoras sats ser ut så här:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$a$ och $b$ är kateterna (sidorna närmast den räta vinkeln) och $c$ är hypotenusan.

Längden på hypotenusan blir då:

$$4^2 + 2^2 = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20$$

Nu har vi fått fram att $c^2 = 20$. För att få fram vad $c$ är behöver vi ta roten ur $20$. Då får vi:

$$c = \sqrt{20}$$

$\sqrt{20}$ går inte att räkna ut exakt så bästa svaret är $c = \sqrt{20}$ cm. Annars kan man räkna ut ett ungefärligt värde med miniräknaren och då får vi att $c = 4.47$ cm

12.

Nu ska vi se om hörnen i fyrkanten är räta. Då kommer vi använda oss av Pythagoras sats igen. Den här gången ska vi se om $a^2 + b^2$ blir lika med $c^2$.

$$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$

$$c^2 = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25$$

Ja, hörnen i fyrkanten är räta, eftersom $a^2 + b^2$ är lika med $c^2$.

13. Klockan $6$ på morgonen är det $+5$ grader ute. Sedan sjunker temperaturen med $2$ grader per timme. Hur mycket är klockan när temperaturen har sjunkit till $-12$ grader?

Vi kan visa vad som händer med hjälp av en tallinje. 

När temperaturen sjunkit $2$ grader har det gått en timme. 

Vi räknar då $2$ steg i taget ner mot $-12$. Detta kan vi göra $8$ hela gånger och $\frac{1}{2}$ gång. 

Det betyder att det har gått $8$ timmar och $30$ minuter sedan klockan $6$. Klockan är alltså $6 + 8 \frac{1}{2} = 14 \frac{1}{2}$, vilket är detsamma som $2:30$ på eftermiddagen (dvs. $14:30$). 

Vi kan även räkna ut uppgiften på ett annat sätt, utan tallinje. 

När vi räknar i temperatur får vi lägga ihop $5 + 12$ för att ta reda på avståndet mellan $-12$ och $5$ på termometern. $5 + 12 = 17$.

$$\frac{17}{2} = 8.5$$

Det har alltså gått $8.5$ timmar sedan klockan $6$ på morgonen. För att ta reda på vad klockan är så lägger vi till $8.5$ till $6$.

$$6 + 8.5 = 14.5$$

Klockan är alltså $14:30$, eftersom $\frac{1}{2}$ timme är detsamma som $30$ minuter.

14. 

Här har vi det kvadratiska grönsakslandet med arean $81$ $m^2$. 

För att beräkna hur lång raden med morötter är, dvs. hur lång diagonalen på kvadraten är måste vi först ta reda på hur långa sidorna är. 

Efter att vi vet hur långa sidorna är kan vi använda oss av Pythagoras sats för att räkna ut diagonalen, som motsvarar hypotenusan i den rätvinkliga triangeln som bildas av $2$ av kvadratens sidor och diagonalen.

Sidornas längd får vi ut genom att vi vet att man räknar ut arean på en kvadrat med $$basen * höjden = b*h$$ 

När vi har en kvadrat vet vi att basen och höjden är lika stora, dvs. vi har $basen = höjden$ och vi får då $$h \cdot h = h^2$$. 

För att ta reda på vad h är så tar vi roten ur $h^2$.

$$h^2 = 81$$

$$h = \sqrt{81} = 9$$

När vi vet att sidorna är $9$ m långa kan vi räkna ut vad hypotenusan är med Pythagoras sats: 

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162$$

$$c = \sqrt{162} = 12.7$$

Vi får fram att raden med morötter är $12.7$ m lång. 

15. Vi ska beräkna $2$ uttryck. Vi vet att $x = 2$ och $y = -5$.

a) $$5x - 9y = 5 \cdot 2 - 9 \cdot (-5) = 10 - (-45) = 10 + 45 = 55$$

Minus gånger minus blir plus så därför får vi kvar ett plustecken istället för $2$ minustecken.

b) $$3 \cdot (-x) \cdot y^3 = 3 \cdot (-2) \cdot (-5)^3 = (-6) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = (-6) \cdot (-125) = 750$$

Vi har $4$ stycken minustecken och då får vi ett positivt tal, eftersom minus gånger minus blir plus och minus gånger minus blir plus.

16. Vi ska beräkna $\sqrt{88} \cdot \sqrt{22}$ exakt.

Vi skriver då ihop allt under ett rotuttryck, eftersom man kan byta ordning på roten ur och multiplikation.

$$\sqrt{88} \cdot \sqrt{22} = \sqrt{88 \cdot 22} = \sqrt{8 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 11} = \sqrt{16 \cdot 11^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{11^2} = 4 \cdot 11 = 44$$

$88$ är ju detsamma som $8 \cdot 11$ och $22$ är detsamma som $2 \cdot 11$. 

Därefter kan vi multiplicera i vilken ordning vi vill, så vi ställer om det till $8 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 11.$. 

Då får vi $16 \cdot 11^2$. 

Nu kan vi dela upp talen på två rotuttryck igen och räkna ut vad $\sqrt{16}$ blir och vad $\sqrt{11^2}$ blir. 

$\sqrt{16}$ är ju detsamma som $4$, eftersom $4 \cdot 4 = 16$. $\sqrt{11^2}$ blir ju $11$, eftersom roten ur ett tal i kvadrat blir talet självt. 

Alltså får vi $4 \cdot 11 = 44$ som svar.